ひもの張力をFとするとおもりの運動方程式は \[ m\frac{d^2x}{dt^2} = mg - F \] 定滑車の回転に関する運動方程式は回転角をθ慣性モーメントをIとすると \[ I\frac{d^2θ}{dt^2} = (F - kx)a = Fa - kax \] \[ F =  \frac{I}{a}\frac{d^2θ}{dt^2} + kx \] \[ m\frac{d^2x}{dt^2} = mg - \frac{I}{a}\frac{d^2θ}{dt^2}  - kx \]

\( x = aθ \) より

\[ m\frac{d^2x}{dt^2} = mg - \frac{I}{a^2}\frac{d^2x}{dt^2}  - kx \] \[ (m + \frac{I}{a^2})\frac{d^2x}{dt^2} + kx = mg \]

\( I = \frac{1}{2}Ma^2 \)より

\[ (m + \frac{1}{2}M)\frac{d^2x}{dt^2} + kx = mg \] \[ ω_n = \sqrt{\frac{k}{m + \frac{1}{2}M}} = \sqrt{\frac{2k}{2m + M}} \] \[ ω_n = 2πf = \frac{2π}{T} \] \[ T =  2π\sqrt{\frac{Ｍ +2ｍ}{2k}} \] [解答]② 参考 回転軸まわりの慣性モーメントと固有角振動数（H26） 回転体の慣性モーメント（H25）

運動エネルギーはなんの運動エネルギーですか

  ここで扱っている 運動エネルギー (T) は、この系を構成する
  • おもり（質量 (m)）の並進運動エネルギー
  • 円板（質量 (M)，半径 (a)）の回転運動エネルギー
の 合計 です。 つまり [ T = T_{\text{おもり}} + T_{\text{円板（回転）}} ] という意味です。

✅ 1. おもり (m) の運動エネルギー（並進）

おもりは上下に並進運動します。 速度を (\dot x)（ひもが動く速度）とすると、 [ T_m=\frac12 m\dot x^2 ]

✅ 2. 円板（質量 (M)）の運動エネルギー（回転）

円板は固定軸まわりに回転し、その角速度は [ \dot\theta = \frac{\dot x}{a} ] （ひもはすべらないので、周速 (a\dot\theta) がひもの速度 (\dot x) に一致） 円板の慣性モーメント（中心まわりの回転） [ I=\frac12 Ma^2 ] したがって回転運動エネルギーは [ T_{\text{rot}}=\frac12 I\dot\theta^2 =\frac12 \frac{I}{a^2}\dot x^2 ] [ \frac{I}{a^2} =\frac{\frac12 Ma^2}{a^2} = \frac{M}{2} ]

✅ 3. 合計すると？

[ T = \frac12 m\dot x^2+\frac12\frac{I}{a^2}\dot x^2 ] [ T=\frac12\left(m+\frac{M}{2}\right)\dot x^2 ] これが前に出てきた 見かけの質量 (m + M/2) です。

✅ まとめ

部分 内容 運動エネルギー
おもり (m) 並進 (\frac12 m\dot x^2)
円板 (M) 回転 (\frac12 I\dot\theta^2 = \frac12\frac{M}{2}\dot x^2)
合計 系の運動エネルギー (\frac12\left(m+\frac{M}{2}\right)\dot x^2)

✅ なぜ円板の回転だけでよいのか？

  • 円板は固定軸で並進しない
  • ひもは滑らないため、円板はひもの動きに合わせて回転のみ
したがって 円板の運動エネルギーは回転運動エネルギーだけです。
必要であれば、この系をラグランジュ方程式から完全に導く流れも説明できます。  

円板（半径 a、質量 M の一様円板）の慣性モーメント = 1/ 2 2について教えてください

もちろんです。 あなたが知りたいのは、
半径 (a)、質量 (M) の一様円板の慣性モーメント [ I=\frac12 Ma^2 ] はどうやって求められるのか？ なぜ (\frac12) がつくのか？
という点ですね。

✅ 一様円板の慣性モーメントの公式

円板をその中心を通る垂直軸まわりに回転させるとき、 その慣性モーメントは [ \boxed{I=\frac12Ma^2} ] これは「一様に質量が分布した円板」の公式です。

✅ 証明（積分で求める）

円板を細い輪（リング）に分割して積分します。

● 1. 半径 (r) のリング要素を考える

リングの半径：(r) 厚さ：(dr) 長さ：周長 (2\pi r) 面密度：(\sigma = \dfrac{M}{\pi a^2}) リングの質量は [ dm = \sigma (2\pi r dr) ]

● 2. リングの慣性モーメント

リングは半径 (r) の質量がすべて円周にあるので 慣性モーメントは [ dI = r^2 dm = r^2\sigma 2\pi r dr ]

● 3. 円板全体にわたって積分

[ I = \int_0^a 2\pi\sigma r^3 dr ] [ I = 2\pi\sigma \left[\frac{r^4}{4}\right]_0^a = 2\pi\sigma \frac{a^4}{4} = \frac{1}{2}\pi\sigma a^4 ] 面密度 (\sigma = \frac{M}{\pi a^2}) を代入すると [ I = \frac12 M a^2 ]

✅ 結果

[ \boxed{I=\frac12Ma^2} ]

✅ 直感的な理解

  • 棒（質量 M、長さ L）の中央軸まわりは (I=\frac{1}{12}ML^2) と小さい → 質量が中心付近に多くある
  • 一方、円板の質量は外側にも大量にある → 棒よりは大きい慣性モーメント
  • しかし、全部が外周にあるリング（(I=Ma^2))ほどは大きくない
その中間なので係数が 1/2 になる。

✅ より直感的な図（イメージ）

リング：全部が半径 a に → I = M a^2（最大）
円板：中心にも質量あり → I = (1/2) M a^2（半分）
棒：中心に近く多い → I = (1/12) M L^2（さらに小）

✅ まとめ

半径 a、質量 M の一様円板の慣性モーメント： [ I = \frac12 M a^2 ] 積分により導かれ、物理的にも
  • リング（全部外側）→ (I = Ma^2)
  • 一様円板 → (I = \frac12Ma^2)
という関係を満たしています。
必要なら、
  • 中心以外の軸の慣性モーメント
  • パラレルアクシス定理（平行軸の定理）
  • 一様球・円筒の慣性モーメント
なども解説できます。