$E(s)=R(s)-H(s)Y(s)=R(s)-H(s)E(s)G(s)$ 式を変形して、$R(s)=\frac{1}{s}$を代入すると $⇔E(s)=\frac{R(s)}{G(s)H(s)+1}=\frac{\frac{1}{s}}{\frac{s+2}{s^3+2s^2+2s+1}+１}$ 最終値の定理を用いて、 $\displaystyle \lim_{ t \to \infty }e(t)=\displaystyle \lim_{ s \to 0 }s・E(s)=\displaystyle \lim_{ s \to 0 }s・\frac{\frac{1}{s}}{\frac{s+2}{s^3+2s^2+2s+1}+１}＝1/3$ [解答]② 参考

誤差伝達はどのように導出しましたか？

  誤差伝達 [ \frac{E(s)}{R(s)}=\frac{1}{1+G(s)H(s)} ] がどこから出てくるかを、ブロック線図の式づくりから丁寧に導出します。

✅ 1. ブロック線図の関係式を書く

ブロック線図を見ると、 
      +───→ E(s) ──→ G(s) ──→ Y(s)
      ↑                 │
      │                 ↓
     R(s) <──────── H(s)──
負帰還なので誤差信号は [ \boxed{E(s)=R(s)-H(s)Y(s)} ] 出力は [ \boxed{Y(s)=G(s)E(s)} ] この2式だけで系のふるまいが決まります。

✅ 2. E(s) を R(s) だけの式にしたい

上の2式を連立します。 まず [ Y(s)=G(s)E(s) ] を [ E(s)=R(s)-H(s)Y(s) ] に代入する。

✅ 3. 代入して整理

[ E(s) = R(s)-H(s),Y(s) = R(s)-H(s),G(s),E(s) ] 両辺を E(s) についてまとめる： [ E(s)+H(s)G(s)E(s)=R(s) ] [ E(s){1+G(s)H(s)}=R(s) ]

✅ 4. 誤差伝達関数の完成

[ \frac{E(s)}{R(s)}=\frac{1}{1+G(s)H(s)} ] これで、誤差伝達関数が完成します。

✅ 5. まとめ（本質）

負帰還では
  • 誤差 (E) が入力となってG(s)へ入る
  • 出力 (Y) が H(s) を通って戻ってくる
  • 誤差は “入力 − 戻り”
という構造になっているため、必ず [ E = \frac{R}{1+GH} ] が生まれます。

✅ 6. 簡易図で理解するとこう

入力 R
 ↓
[ 1 / (1 + G H ) ] ←── 誤差 E
負帰還を入れると、入力が 1 / (1 + GH) だけ小さくなって誤差となる。
必要なら ✅ 同じ方法で出力伝達関数 (Y/R = G/(1+GH)) の導出 ✅ ループゲイン GH の意味 ✅ タイプ0/1/2系の定常偏差の一覧 も説明できます！  

最終値の定理とはなんですか？

  最終値の定理（Final Value Theorem）は、 時間領域での定常値（t→∞ の値）を、ラプラス領域から直接求められる便利な定理です。 結論から書くと…

✅ 最終値の定理（Final Value Theorem）

ラプラス変換された関数 (F(s)) があるとき、時間領域での最終値は [ \boxed{ \lim_{t\to\infty}f(t)=\lim_{s\to 0} sF(s) } ] ただし条件が必要（後述）。

✅ 1. なぜこんな定理が便利なのか？

制御工学では「定常偏差」など、
  • (e(t)) が (t\to \infty) でどうなるか？
  • 出力 (y(t)) が定常状態では何になるか？
を知りたいことが多い。 しかし、いちいち逆ラプラス変換して (t\to∞) を調べるのは大変。 そこで [ sE(s)\ \text{の}\ s\to 0 ] だけ見ればよい、という魔法の定理が“最終値の定理”。

✅ 2. 使い方の例（今回の問題）

今回の問題では [ e_\infty=\lim_{t\to\infty}e(t) =\lim_{s\to0} sE(s) ] ステップ入力 (R(s)=1/s) の場合 [ sE(s)=\frac{s}{1+G(s)H(s)}\cdot\frac{1}{s} =\frac{1}{1+G(s)H(s)} ] よって [ e_\infty=\frac{1}{1+G(0)H(0)} ] というように、逆ラプラス変換なしで答えが出る！

✅ 3. どんなときに使える？（重要）

最終値の定理が成立するための条件：

✅ 系が安定

つまり、 伝達関数の極（閉ループの極）が右半平面にないこと。 特に
  • 原点より右側に極があれば、発散するので定常値が存在しない。
  • 虚軸上に極がある（例：s = 0 の2重極）と成立しない。

✅ f(t) の最終値が有限に存在すること

（発散する信号に最終値の定理は使えない）

✅ 4. 直感的な意味（理解しやすくする）

ラプラス変換 [ F(s) = \int_0^\infty f(t)e^{-st}dt ] ここで (s \to 0) にすると [ e^{-st} \to 1 ] つまり、 「関数全体の積分」に近づく。 さらに [ sF(s) ] を考えると、時間が長くなる部分が強調されて “最終的な値” を取り出す効果になる。

✅ 5. 図で直感をつかむ（文章図解）

f(t)
│        ────→（定常値）
│      /
│    /
│  /
└─────────────→ t

ラプラス領域で s を 0 に寄せていくと、
時間が長い部分の情報が浮き上がり、
定常値が抽出される。

✅ 6. 最終値の定理と対になる「初期値の定理」

[ f(0^+)=\lim_{s\to\infty} sF(s) ] “初期値”は「高周波成分（s→∞）」を見る。 最終値は「低周波成分（s→0）」を見る。 と対応している。

✅ まとめ

名称 内容
最終値の定理 (\lim_{t\to∞}f(t)=\lim_{s\to0}sF(s))
有効条件 閉ループが安定、虚軸上に極がない
便利な場面 定常偏差・定常出力の計算
直感 (s→0) は“低周波→長時間”を意味する
必要なら、 ✅ なぜ s→0 が“長時間”を意味するのか ✅ 最終値の定理が使えない反例 ✅ 初期値との比較 もさらに詳しく説明できます！

初期値との比較をお願いします

  了解！ ここでは 初期値の定理 vs 最終値の定理 を、 意味 → 数式 → 図解 → 直感的イメージ の順で比較しながら解説します。

✅ 1. まず結論（2つの定理）

● 初期値の定理（Initial Value Theorem）

[ \boxed{f(0^+)=\lim_{s\to\infty}sF(s)} ]

● 最終値の定理（Final Value Theorem）

[ \boxed{\lim_{t\to\infty} f(t)=\lim_{s\to 0} sF(s)} ] 初期値 ⇒ s→∞ 最終値 ⇒ s→0 ここが最大のポイント。

✅ 2. なぜ s→∞ で初期値が取れるのか？

ラプラス変換は [ F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt ] s→∞ のとき e^{-st} が超急速減衰 するので、 t=0 付近しか“見えない”。 例： [ e^{-1000t} \Rightarrow t>0.01s でほぼゼロ ] したがって s→∞ にすると「時間の初めの様子」だけ抽出される。 例（一次遅れ） [ f(t)=1-e^{-t},\quad F(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1} ] 初期値は [ \lim_{s\to\infty}sF(s)=1-1=0=f(0) ]

✅ 3. なぜ s→0 で最終値が取れるのか？

s→0 では [ e^{-st}\to1 ] つまり時間方向に対して 長時間の影響が強くなる。 簡単に言うと：
  • 初期値は“高周波成分（s大）”に支配される
  • 最終値は“低周波成分（s小）”に支配される
だから [ sF(s)\text{の }s\to0 \Rightarrow\text{定常状態の値を抽出} ]

✅ 4. 直感イメージ（図解）

● 初期値の定理

f(t)
↑│\
 │ \
 │  \   ← 初期の形だけ重要
 │   \
───┴──────── t
     0  1

sを大きくすると、t=0付近に
ズームインするような効果がある

● 最終値の定理

f(t)
│        ────→  (定常値)
│      /
│    /
│  /
└────────────── t

sを小さくすると、t→∞ の部分が
強調される（低周波成分）

✅ 5. 正確な使用条件（重要）

定理 使える条件
初期値の定理 f(t) が T=0 で有界。インパルス成分があってもOK
最終値の定理 安定系であることが必須（右半平面 or 虚軸上に極がない）
特に最終値定理は 閉ループが不安定なら絶対に使えない （振幅が発散し、t→∞ の値が存在しないため）

✅ 6. 数式での対応関係（美しい対称性）

項目 初期値の定理 最終値の定理
対応する極領域 s→∞ s→0
物理意味 高周波 → 初期挙動 低周波 → 定常挙動
抽出されるもの f(0⁺) f(∞)
どこで使う？ 初期条件付きの問題 定常偏差の計算

✅ 7. 最後に超短まとめ

  • s→∞（高周波）を見ると → 初期値がわかる
  • s→0（低周波）を見ると → 最終値（定常値）がわかる
  • 最終値は安定系でしか使えない
  • 初期値はほぼすべての系で使える
必要なら、 ✅ 初期値定理の証明 ✅ 最終値定理の証明 ✅ 両者が破綻する例（RHP極の例） などもできます！

ラプラス変換のメリットはなんですか？

  ラプラス変換の“すごさ”は、 時間領域の面倒くさい微分方程式を、代数（足し算・掛け算）に変えてしまう という点にあります。 数学を魔法に変えてしまう感じです。 ここでは、直観的メリット → 工学的メリット → 数学的メリット の順に整理します。

✅ 1. まず直感から：

微分方程式が“ふつうの方程式”に変わる！

例えば [ m\ddot{x}+c\dot{x}+kx = f(t) ] これは時間領域では
  • 微分がある
  • 時間変化がある
  • 解析が面倒
でもラプラス変換すると [ (m s^2 + c s + k)X(s) = F(s) ] ただの代数式。 微分は [ \frac{d}{dt} \rightarrow s ] になる。 ✅ だから 解くのが圧倒的に簡単になる。

✅ 2. 工学的メリット（制御・機械・電気で重要）

✅ (1) 微分方程式が代数方程式になる

→ ブロック線図、伝達関数、フィードバック解析が可能。

✅ (2) 初期条件を自動で含められる

[ L{\dot{x}} = sX(s)-x(0) ] → 初期値を勝手に入れてくれる。

✅ (3) 伝達関数 G(s) が扱える

振動・制御・電気回路のふるまいを たった G(s) という関数ひとつで扱える。

✅ (4) 安定性が極（s平面）で一瞬で判断できる

  • 右半平面に極がある → 不安定
  • 左半平面 → 安定
直感でわかる！

✅ (5) 最終値の定理・初期値の定理が使える

→ 逆変換なしで結果が出る。

✅ (6) 畳み込み積分が単なる掛け算に

[ y(t)=f(t)*g(t) \quad\Rightarrow\quad Y(s)=F(s)G(s) ] → 応答計算が爆速で終わる。

✅ 3. もっと深いメリット（周波数領域で考える）

✅ (1) s = σ + iω （複素数）なので

減衰＋振動を 1本の複素平面で同時に扱える 例：
  • 振動成分 → (iω) 軸
  • 減衰成分 → σ 軸

✅ (2) 周波数応答・Bode線図・共振周波数が自然に出てくる

[ G(i\omega) ] を見れば
  • 増幅度
  • 位相遅れ
  • 共振現象 が全て分かる。

✅ 4. 例で見るとわかりやすい

例：ステップ応答を求めたい 時間領域なら 微分方程式を解く → 定数項合わせる → 初期条件入れる → 計算がしんどい ラプラスなら [ R(s)=\frac{1}{s} ] [ Y(s)=G(s)R(s) ] [ y(t)=\mathcal{L}^{-1}{Y(s)} ] 伝達関数の掛け算だけで終わり。

✅ 5. ざっくりまとめ（本質だけ）

メリット 理由
微分が s に置き換わる 微分方程式が代数方程式になる
初期条件が自動で入る (sX(s)-x(0)) の項
畳み込みが掛け算に 応答解析が簡単
周波数特性がわかる (G(i\omega)) がそのまま周波数応答
安定性がわかる s 平面の極の位置
制御工学に必須 伝達関数で一瞬でモデル化

✅ 超直感イメージ

ラプラス変換は 「時間の世界」→「周波数＋減衰の世界」への変換。 時間の複雑な絡み合いを、 一本の複素数 s 軸に全部押し込む“魔法の圧縮”みたいなもの。
必要なら、 ✅ ラプラス変換とフーリエ変換の違い ✅ ラプラス変換の厳密な定義と収束領域 ✅ なぜ微分が s になるのかの証明 なども解説できます！  

目標値は入力値を入れるのに目標値というのはなぜですか？

  ここは 制御工学の言葉のクセが原因で、最初は必ず混乱します。 実は “入力値” と “目標値（指令値）” は、同じ場合と違う場合があるんです。 順を追って、非常に明快に説明します。

✅ 結論（これが最も大事）

目標値（reference）とは、“システムにやらせたい動き・状態”。 それを数値として入力するので、 結果として R(s) が「入力」であり「目標値」になる。 つまり [ \text{入力}＝\text{目標値} ] ではなく、 [ \text{入力}の中でも特に「目標とする値」をR(s)と呼ぶ。 ]

✅ 1. 普通の物理では “入力＝外から加えたもの”

例えば質点に力を加えるなら
  • 力 → 入力
  • 変位 → 出力
これは直感的。

✅ 2. しかし制御では「やらせたい動作」が最優先

制御の目的は 装置を思い通りの動きにさせること。 だから、 人間（または上位システム）が設定する「望む値」を 目標値（set point / reference） と呼びます。 例えば：
  • ロボットのアーム角度を 30° にしたい → 30° が目標値
  • モーターを毎分 1500 rpm にしたい → 1500 rpm が目標値
  • 温度を 70℃ にしたい → 70℃ が目標値
そしてシステムへ「30°」を数値として入力する。この入力信号を [ R(s) ] と書く。

✅ 3. “入力＝目標値” と言われる理由

入力という言葉は広すぎる

だから制御ではもっと意味の特定された言葉が必要。
用語 意味
入力（input） システムに与えるすべての信号
目標値（reference） 望む動作・状態の値
外乱（disturbance） 望まない入力（風、摩擦、衝撃など）
つまり「入力の中の一部」である “目標として与える信号” だけを特別に R と呼ぶ。 そのため、 R(s) は「入力信号」なのに “目標値” と呼ばれる。

✅ 4. ブロック線図でみると一目瞭然

   目標値 R(s)  → (+) → E(s) → G(s) → Y(s)
                     ↑
                     └── H(s) ────
ここで
  • R(s)：やりたいこと（目標）
  • Y(s)：実際の出力
  • H(s)：フィードバック
  • E(s): 誤差 = R − H·Y

✅ 目標値は “入力” ではなく “基準値”

“これに近づけるために制御する値” だから。

✅ 5. なぜ「入力値」と言わず「目標値」と言うのか

理由は 3 つあります：

✅① 入力には「外乱」も含まれる

目標値ではない。

✅② 制御対象に強制力を加える「操作量（入力）」とも区別したい

たとえばモーターなら
  • 目標値 → 回転数の希望値
  • 入力 → モータへの電圧（制御系が決める） これはまったく別物。

✅③ 目標値は人間がシステムに与える“指令”だから

操作入力とは役割が違う。

✅ 6. 名称の対応を整理しておくと理解が速い

名前 主な役割
目標値 R(s) やらせたい状態・位置・速度
誤差信号 E(s) R − H·Y （制御の原動力）
操作量 U(s) アクチュエータへ送る信号（制御器の出力）
出力 Y(s) 実際の応答
外乱 D(s) 望まない入力

✅ まとめ

目標値とは、 「制御で実現したい値（指令値）を “入力信号として” 入れるもの」。 だから
  • 入力信号ではある
  • しかし単なる入力ではなく「目標」なので R(s) と特別に呼ぶ
というだけです。
必要なら： ✅ ブロック線図での R(s), U(s), Y(s), D(s) の役割 ✅ 制御系の「入力」「目標」「外乱」「操作量」の違い ✅ PID 制御における目標値の具体例 なども詳しく説明できます！