【ヨビノリ　推定・検定】なぜ標本分散ではなく不変分散を使うのか？

●2回目（点推定：一致性・不変分散）・・・標本の値を使って、母集団を求める

標本平均：$　 X　= \frac{ X1+X2・・・＋Xn }{ ｎ }$
不変分散：$ U^２= \frac{ （X1-X）^２+（X2-X）^２・・・＋（Xn-X）^２ }{ ｎ-1 }$

推定量に臨む性質
・一致性：ｎが大きくなれば母数（真の値）が推定量に限りなく近づく
・普遍性：推定量の期待値（真の値）が母数になる

Q：なぜ標本分散ではなく不変分散を使うのか？
A：標本分散では真の分散を過小評価してしまうから

●3回目（区間推定：分散が既知な場合）

1個の標本で母平均を区間推定する

標本：μ＝165
分散：σ²＝6²

信頼度95％の信頼区間

X-1.96σ＜μ＜X+1.96σ

165-1.96*6＜μ＜165+1.69*6

算出される信頼区間のうち95％が母平均を含む

複数個の標本から母平均を区間推定する

標本集合
X1、X2、X3・・・Xn
標本平均をつくる
Xは平均μ、分散$\frac{ σ^2 }{ ｎ}$の正規分布に従う

$X-1.96\frac{ σ }{ \sqrt{ｎ}}＜μ＜X+1.96\frac{ σ }{ \sqrt{ｎ}}$

●4回目　区間推定：母分散が未知な場合
（母分散が未知のため、標本からわかるの不変分散で代用）

$Z＝\frac{X-μ}{\frac{σ}{\sqrt{ｎ}}}$

標準正規分布に従う

ｔ分布の特徴
・左右対称
・正規分布をつぶした形
・ｎが大きくなると正規分布に従う

母集団
μ＝？
σ²＝？

標本（94，99、86、101）
ｎ＝4
X＝95
$u^2=\frac{（94-95）^2・・・＋（101-95）^2}{4-1}＝44.67$・・・不変分散

u=6.68

$95-3.18\frac{ 6.68 }{ \sqrt{2}}＜μ＜95+3.18\frac{ 6.68 }{ \sqrt{2}}$

$84.4≦μ≦105.6$

●5回目　区間推定：母集団分布が未知な場合

・標本をたくさん集める
・不変分散で代用する

$X-1.96\frac{ σ }{ \sqrt{ｎ}}＜μ＜X+1.96\frac{ σ }{ \sqrt{ｎ}}$

ここでｎが十分大きいので、σをＵ（不変分散からもとまる標準偏差）でそのまま置き換えて

$X-1.96\frac{ Ｕ }{ \sqrt{ｎ}}≦μ≦X+1.96\frac{ Ｕ }{ \sqrt{ｎ}}$を信頼区間95％の信頼区間とする

●6回目　母比率の推定

母比率：ｐ
標本比率：R

母比率の95％信頼区間を求める
角Ｘiはベルヌーイ分布に従う（平均:p、分散：ｐ（1-ｐ））
→ｎが十分大きいとき、中心極限定理より
Ｘ＝(Ｘ１＋Ｘ２＋・・・・＋Ｘn)/n=R

は平均p、分散ｐ（1-ｐ）/nの正規分布に従う

$R-1.96\sqrt{\frac{ p(1-p)}{n }}＜p＜R+1.96\sqrt{\frac{ p(1-p)}{n }}$

ここで、ｎが十分大きいから

$\sqrt{\frac{ p(1-p)}{n }}$を$\sqrt{\frac{ R(1-R)}{n }}$に置き換えて、

$R-1.96\sqrt{\frac{ R(1-R)}{n }}＜p＜R+1.96\sqrt{\frac{ R(1-R)}{n }}$

ex.ヨビノリの認知率を調べるために、無作為に選んだ理系大学生400人に「このチャンネルを知っているか」と聞いたところ、320人が「知っている」と答えた。全国の理系大学生への認知率ｐを信頼度95％で推定せよ。

$0.8-1.96\sqrt{\frac{ 0.8(0.2)}{400 }}≦p≦0.8+1.96\sqrt{\frac{ 0.8(0.2)}{400 }}$

$0.7608≦p≦0.8392$

●7回目　母分散の推定

母集合：μ＝？、σ²＝？、正規分布
標本集合：

——ex.おかし——
母集合
μ＝？
σ2＝？

標本集合

ｎ＝10
X＝9.90
U²＝0.25

自由度9のχ²分布

下側2.5％点：2.7
上側2.5％点19.0

$\frac{ （ｎ-1）U^2}{19.0}＜σ^2＜\frac{ (n-1)U^2 }{ 2.70}$
$0.118＜σ^2＜0.833$

————

●8回目　母平均の検定
——ex.——

あるメーカーが「この製品の内容量は150mLです」と主張している。しかし最近この量が減ったのではないかと疑っている。そこで、この製品100個を無作為に抽出して調べてみたところ、その平均は148.5mlであった。このことから「平均内容量は減った」といえるか。内容量の分布は母分散8.0^２の正規分布とし、優位水準5％で検定せよ。

平均：150
分散：8.0^２/100(8/10)

棄却域（5％点）：148.7

●検定の流れ

1. 帰無仮説H0と対立仮説H1を設定。
2. H0のもとで対象となる統計量の分布を調べる
3. 有意水準（危険率）を決め、2の分布においてH1に有利となる棄却域を設定
4. 標本を抽出し、統計量が棄却域にあるかを調べ、棄却域にあればH0を棄却する

●9回目　ウェルチの検定